sábado, 27 de agosto de 2011

Inecuaciones con valor absoluto

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por:
La noción de valor absoluto surge de una manera natural en problemas de distancia. En una recta coordenada, sean A y B puntos con coordenadas a y b. Debido a que la distancia es siempre no negativa, la distancia d entre A y B es d = b - a cuando B está a la derecha de A (figura a), y d = a - b cuando B está a la izquierda de A (figura b).
En el primer caso, b - a es positiva, de modo que puede escribirse: d = b - a = b - a y en el segundo caso, b - a es negativa, de modo que puede escribirse: d = a - b = -(b - a) = b - a
Por lo tanto, independientemente de si B está a la derecha o a la izquierda de A, la distancia d entre A y B es: d = b - a
Para cualquier número real b puede escribirse: b = b - 0
Por lo tanto, el valor absoluto de un número b pude interpretarse geométricamente como su distancia desde el origen sobre una recta coordenada.


PROPIEDADES

En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales
Propiedades fundamentales
No negatividad
Definición positiva
Propiedad multiplicativa
Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)
Otras propiedades
Simetría
Identidad de indiscernibles
Desigualdad triangular
(equivalente a la propiedad aditiva)
Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Otras dos útiles inecuaciones son:


Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:



INECUACIONES CUADRÁTICAS

Sean a, b, c constantes reales tales que . Sea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la forma y el otro miembro es cero
Sean a, b, c constantes reales tales que . Sea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la forma y el otro miembro es cero

EJEMPLO
a.) c.)
b.) ch.)
Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.
Caso 1:
Consideremos como caso , aquel en el cual la expresión es factorizable ( ). Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresión , para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones de los ejemplos anteriores (por medio de una ``tabla de signos")
Recuerde que si la expresión es factorizable entonces se cumple que:

DE LAS INECUACIONES IRRACIONALES

INECUACIONES IRRACIONALES
Son aquellas inecuaciones que presentan radicales, si los radicales son de índice IMPAR no existe restricción respecto a sus radicandos los que pueden ser positivos o negativos o cero, en el caso de que los radicales sean de índice PAR, se deben restringir los radicandos, estos deben ser mayores o iguales a cero en forma general, al resolver esta restricción el C.S constituye el universo “U”, luego se resuelve la inecuación mediante operaciones algebraicas el conjunto solución hallado se intersecta con el universo para hallar el conjunto solución final
jemplo : 3 0
Restricción 5 - x 0 5 x....... (U)
Elevando al cuadrado:
5-x 9-4 x....... (C.SI)
Son Expresiones que contienen _ en el denominador no se pueden pasar y multiplicar por cero es decir no podemos anular la expresión del denominador
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer cero al denominador.
Como la inecuación racional es mayor o igual que cero, para solución consideramos los intervalos con signo positivo por tanto el conjunto solución es =(−∞, _2_ ∪ (4,+∞)



Ejemplo

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

a ) b )
c ) d )

Solución:

a.)
Para la expresión se tiene:



es factorizable y además:

así:
Resolviendo esta última inecuación se tiene:



Por lo tanto el conjunto de solucion es
, o sea :

Ejempl 2

b.)
Para la expresión se tiene:




es factorizable y además:

así:
Resolviendo esta última inecación se tiene:

Por lo tanto el conjunto solución de es:
o sea:


Ejemplo 3
c.)
Para la expresión se tiene:



es factorizable y además:
así:
Resolviendo esta última inecuación se tiene:

Por lo que el conjunto solución de es:
o sea:


Ejemplo 4
d.)

Para la expresión se tiene:



es factorizable, además:

así:
Resolviendo esta última inecuación se tiene:


Por lo que el conjunto solución de es:
o sea:


Actividad
¿Porque se debe tomar en cuenta todas las propiedades de las inecuaciones en la educación matemática?
¿En que te beneficia las inecuaciones con valor absoluto en la vida diaria?

Ejercicios propuestos



Direcciones electrónicas que te pueden ayudar a complementar el contenido


http://es.scribd.com/doc/29817756/DESIGUALDADES-INECUACIONES-IRRACIONALES

http://www.vitutor.com/ecuaciones/ine/ine01_Contenidos.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t4-valorabsoluto/valor-absoluto-julioetall/index.html


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